如何在拓撲學中證明在幾個圓環體中，多邊形N中的每個頂點都可以成對相連，但不相交？

先看球體。像飛機壹樣，是單連通的。多邊形能存在於平面上當且僅當它能存在於球面上。球面上的歐拉公式V-E+F=2。對於完全四邊形，V=4，E=C(4，2)=6，則F=2-(4-6)=4。因為每個面都是三角形，每個邊都是兩個面共有的，所以壹個* * *應該有3F/2=6條邊，正好等於E，對於壹個完整的五邊形，如果嵌入壹個球面，V = 5，E = C (5，2) = 10，F = 2-(V-E) = 7。此時，3F/2=11.5不等於e .同樣，對於壹般完全n & gt四角體，v = n，e = c (n，2) = n (n-1)/2，f = 2-(v-e)。很容易驗證3f/2 >: E .矛盾這說明n & gt在4，壹個完整的N多邊形不能存在於球體上。

看虧格為1的環面。歐拉公式V-E+F=0。壹個完整的N邊形嵌入圓環有兩種可能性。壹種是所有三角形都是普通的，即可以連續收縮成圓環面上的壹個點；壹個是有壹個非凡的三角形。比如環面或者緯度圈上的經線線圈，它們不可能連續收縮到壹個點。第壹種情況，所有三角形都是普通的，和球面上的情況壹樣，所以這種情況可以不再討論。

在第二種情況下，有壹個非同尋常的三角形，註意到非同尋常的三角形不能產生新的面孔。比如壹個翹曲線圈，翹曲線圈不能把圓環分成兩個不相連的部分。但是壹個很小的三角形真的可以把圓環體分成兩個不相連的部分，也就是貢獻新的面。所以在第二種情況下，兩個面並不總是共享壹條邊。因此，3F/2=E不再有效。但是不等式3f/2

然後考慮n=5，6，當V=5(或6)，E=10(或15)，F=E-V=5(或9)，3f/2 = 7.5

n & gt=7，3F/2 & gt；=E，不合格。

類似的計算表明，對於有Quigg G的環面，歐拉公式為V-E+F=2-2g，V=n，E=n(n-1)/2，設3f/2

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