——從1+2+3＋…+n談起
在建築工地上堆積了許多圓木條，從側面看去它們堆積成壹個三角形的樣子。最頂層只有壹根，第二層只有二根，第三層只有三根，……。
妳想要知道這堆木料究意有多少條圓木？於是妳開始計算：壹、二、三、……。
可是這樣計算並不太快，而且容易錯誤。為了能較準確和迅速得到堆積木條的總數，我們介紹壹個古代中國和希臘勞動人民所知道的壹個方法。但在還沒講這方法之前，請聽壹個著名的德國天文、物理和數學家的故事。
八歲孩子發現的數學定理
18世紀的德國出了壹個大科學家高斯（ Carl Friedrich Gauss1777－1855）。他生在壹個貧窮的家裏，父親什麽工作都做過：園丁、勞工、商人助手、雜貨店的算帳員等等。母親是壹個石匠的女兒，雖然只讀壹點點的書，但人非常的聰明。高斯在還不會講話時就自己學計算，在三歲時有壹天晚上他看著父親在算工錢時，還糾正父親計算的錯誤。
長大後他成為當代最傑出的天文學家、數學家。他在物理的電磁學方面有壹些貢獻，現在電磁學的壹個單位就是用他的名字命名。數學家們則稱呼他為“數學王子”。
他八歲時進入鄉村小學讀書。教算術的老師是壹個從城裏來的人，覺得在壹個窮鄉僻壤教幾個小猢猻讀書，真是大材小用。而他又有些偏見：窮人的孩子天生都是笨蛋，教這些蠢笨的孩子念書不必認真，如果有機會還應該處罰他們，使自己在這枯燥的生活裏添壹些樂趣。
這壹天正是算術教師情緒低落的壹天。同學們看到老師那抑悒的臉孔，心裏畏縮起來，知道老師又會在今天捉些學生處罰了。
“妳們今天替我算從1加2加3壹直到100的和。誰算不出就罰他不能回家吃午飯。”老師講了這句話後就壹言不發的拿起壹本小說坐在椅子上看去了。
課室裏的小朋友們拿起石板開始計算：“1加2等於3，3加3等於6， 6加4等於10，……”壹些小朋友加到壹個數字後就擦掉石板上的結果，再加下去，數字越來越大，很不好算。有些孩子的小臉孔漲紅了，有些手心額上滲出了汗來。
還不到半點鐘，小高斯拿起了他的石板走上前去。“老師，答案是不是這樣？”
老師頭也不擡，揮著那肥厚的手，說：“去！回去再算！錯了！”他想不可能這麽快學生就會有答案了。
可是高斯卻站著不動，把石板伸向老師面前，“老師！我想這個答案是對的。”
算術老師本來想要怒吼起來，可是壹看石板上整整齊齊寫了這樣的數：5050，他驚奇起來。因為他自己曾經算過，得到的數值也是5050，這個8歲的小鬼怎麽這樣快就得到了這個數值呢？
高斯解釋他發現的壹個方法，這個方法就是古時希臘人和中國人用來計算級數1+2＋3＋…＋n的方法。高斯的發現使到老師覺得羞愧，覺得自己以前目空壹切和輕視窮人家的孩子的觀點是不對的，他以後也認真教起書來，並且還常從城裏買些數學書自己進修並借給高斯看。在他的鼓勵下，高斯以後便在數學上作了壹些重要的研究了。
古時的中國和希臘人怎樣算這和
2400年前的希臘數學家畢達哥拉斯稱這樣的數1，1＋2，1 +2＋3，1＋2＋3＋4，等等為三角數（Triangular number）。他和門徒用1個圓球代表1，並且把三角數用下面的圖形表示：
壹般我們用Sn來表示1＋2＋3＋…＋n的值。現在要知道Sn的數目，我們可以設想有另外壹個Sn（這裏用白圓球來表示），把它倒放，並和原來的Sn靠攏拼合起來；我們就得到壹個菱形（圖二，這裏n是等於4的情形），總***有n行，每壹行有n＋1個圓球，所以全部有n（n＋1）個圓球。這是兩個Sn，因此壹個Sn應該是n（n＋1）÷2。
無獨有偶，中國人也是用這方法找出Sn的值。宋朝數學家楊輝，他考慮由草束堆成的尖垛，頂層是壹束，從上到下逐層增加壹束，如果知道底層的束數，就可以算出全部草束的總數。他提出的壹個問題是：“今有圭垛草壹堆，頂上壹束，底闊八束。問***幾束？答：36束。”他的計算方法和以上的說明是壹樣的。
畢達哥拉斯和門徒們發現了三角數的壹個性質：任意兩個連續三角數的和是壹個平方數。用圖形表示是：
讀者可以用公式對以上的性質給出證明。
很容易聯想到的壹個問題：是否12＋22＋32＋…＋n2，以及13＋23＋33＋…＋n3也能找到簡單公式來算它們的和？
據說那個在澡堂裏發現了“浮力定律”而忘記自己仍舊是赤身露體奔跑在街道上高喊著“Eureka！Eureka！”（我已發現了！我已發現了！）的希臘科學家阿基米德（Archimedes，公元前287—公元前212）早已知道這兩個和的公式是：
12＋22＋32＋…＋n2=n（n＋1）（2n＋1）÷6
13＋23＋33＋…n3=（1＋2＋…＋n）2
可是在阿基米德以後的希臘數學家想要知道14＋24＋34＋…＋n4的和的公式，卻是無能為力。這個和的公式要在1000年後11世紀的阿拉伯數學家Alhean時才知道。
我們問壹個問題：對於任何m≥3，是否有壹般的公式表示1m＋2m＋…＋nm的和呢？
法國數學家費馬解決此問題
在1636年法國數學家費馬（P．Fermat）興高采烈的給朋友寫了壹封信：“我已解決了在算術中可以算是最漂亮的壹個問題。”他所講的問題就是上面問的問題。
費馬發現了這樣的公式：
他很自然的想到，是否
令他驚奇是，結果真是如此。
他還從這裏出發，得到了壹個很漂亮的公式：
對於P≥2，以下的式子是恒等式
現在可以用這公式來解決千多年來數學家想要求出的公式。先看最簡單的情形，即p＝2：
左邊的式子是可以展開寫成
現在已知∑r的公式，我們代進去再化簡就可以算出∑r2的公式了。
知道了∑r2的公式，再對p=3的情形考慮，由於
到∑rm的值。費馬倒是很巧妙的解決這個問題。
中算家在這方面的成果
中國數學家很早就認識了等差級數，在中國最早的數學書《周髀算經》裏談到“七衡”（日月運行的圓周）的直徑以19833裏100步×2遞增，這就是等差級數。
約在公元1世紀成書的中國重要數學著作《九章算術》在《衰分》和《均輸》二章裏的問題和等差級數有關。
在5世紀末南北朝的張丘建在他著的《張丘建算經》就有三個問題是等差級數的問題：
[題壹]今有女子善織布，逐日所織的布以仝數遞增，已知第壹日織五尺，經壹月***織39丈，問逐日增多少？
[題二]今有女子不善織布，逐日所織的布以仝數遞減，已知第壹日織五尺，末壹日織壹尺，計織30日。問***織布多少。
答：9丈。
[題三]今有某君以錢贈給許多人，先第壹人給三錢，第二人給四錢，第三人給五錢，繼續依次遞增，錢給其他許多人。給完錢後把諸人所得的錢全部收回，再平均分派，結果每人得100錢，問人數多少？
答：195人。
唐朝和宋朝的數學家研究級數，並不是單純追求趣味性，而是實際的需要。當時的天文學家都假定日、月、星辰在天空中的運動是等加速或等減速運動，每日經行的路程是等差級數。
比如唐朝的天文學家僧壹行（683—727），是世界上最早發現恒星在天上的位置會變動的天文學家。在他所著的《大衍歷》裏就是利用等差級數的求和公式來計算行星的行程。
宋朝時對等差級數和高階等差級數的研究有最卓越的貢獻的該是沈括（1031—1095），他看到酒店、陶器店等把甕、缸、瓦盆三類的東西推成長方臺，底層排成壹個長方形，以上的每層長闊各減少壹個，因此他想要知道是否有簡單的式子可以計算。
他看古算術書：《九章算術》的《商功》章原有長方臺體積（古書稱為“芻童”）的公式。用這公式來求實際的問題，常常是比原數少。因此他創造了新法《隙積法》以補“古書所不到者”。（“用芻童法求之，常失於數少，予思而得之。”）
假設長方臺上底是a×b，下底是a'×b'***有n層，因為從上到下，每壹層的縱橫各增加壹個，所以a'-a=b'-b＝n-1，沈括的求和公式是：
ab＋（a+1）（b＋1）＋（a＋2）（b＋2）＋…＋a'b'＝
讀者如果令a=b=1，a'＝b'＝n，代入以上的公式就可以得到
12＋22＋…＋n2＝n（n＋1）（2n+1）÷6
沈括留給後世的《夢溪筆談》是壹部內容豐富的科學著作，裏面談到數學、天文、物理、化學、生物、地質、地理、氣象、醫藥和工程技術等，英國自然科學史家李約瑟教授對這書評價極高。而日本數學家三上義夫（Mikami Yoshio 1875—1950）對沈括非常推崇，他認為對古代數學來講：“日本的數學家沒有壹個比得上沈括，像中根元圭精於醫學、音樂和歷書，但沒有沈括的經世之才；本多利明精航海術，有經世才，但不能像沈括的多才多藝。如果在別國中能找到和沈括相比的數學家，那麽德國的萊布尼茲和法國的卡羅，在某點上或可和沈括比較，但若壹面遠勝沈括，同時又多才多藝，那就談不到了。僅有希臘的阿契泰斯，他的學識經驗最能和沈括相比。總之沈括這樣的人物，在全世界數學史上找不到，惟有中國出了這壹個人。我把沈括當做中國數學家的模範人物或理想人物，是很恰當的。”（見《中國算學之特色》）
在沈括後，宋朝的數學家在級數研究有較好成果的，該算13世紀時的楊輝。他提出了三角垛公式：
1＋（1＋2）＋（1＋2＋3）＋…＋（1＋2＋3＋…＋n）＝n（n＋1）（n＋2）÷6
元朝朱世傑是壹個到處傳授數學的教書先生，他在1299年寫了壹部《算學啟蒙》以及1303年寫的《四元玉鑒》就研究等差和高階等差級數，特別是在後面那部著作，他擴充了楊輝的三角垛和公式，建立起屬於
的公式，以及更復雜的公式。這些也是比費馬早三百多年的時間。
朱世傑的書在17世紀流傳到日本去，對日本數學家的級數理論的研究影響很大。反而在中國，自從朱世傑以後的400年來，級數理論卻停頓著沒有再發展。要到18世紀時的董佑誠和李善蘭等才有壹些論見。
級數理論和微積分學的產生有密切的關系，好像公式
家很早就有），可以很容易算出球體的體積公式，中國數學家很早就用幾何方法來推算球體的體積。在宋元的時候中國基本上具備了產生微積分的準備條件，可惜卻沒有壹個人能像以後的西歐的萊布尼茲及牛頓那樣承先啟後的工作。更糟的是在明清時中國數學卻衰退起來。
原因是在那裏呢？最近中國數學工作者顧今用先生認為：“中國古代數學至少自秦漢有記載以來，許多方面壹直居於世界上的遙遙領先的地位，發展到宋元之世，已經具備了西歐17世紀發明微積分前夕的許多條件，不妨說我們已經接近了微積分大門。盡管歷代都有儒法鬥爭，儒家思想的阻撓放慢了數學發展的速度，甚至使許多創造淹沒不彰或從此失傳，但我們還是有可能先於歐洲發明微積分的。然而，宋朝的程朱理學已使當時的壹些優秀數學家（例如楊輝）浪費精力於縱橫圖之類的數學遊戲，陷入神秘主義，違反了我國自古以來的優良傳統，到了明朝八股取士，理學統治了學術界的思想，我國的數學也就從此壹落千丈了。”（見《數學學報》18卷第1期。
我想補充的壹點是：歐洲那時期本上已完成封建社會過渡到資產階級社會的階段，生產力的提高自然提供了許多和生產有關系的如：熱學、電磁學、流體力學等的問題產生在這種情形下，舊有的數學工具是不夠解決這壹類問題。壹種嶄新而能處理變動問題的有威力的新數學就要產生。而中國還是壹個古老的封建社會，生產方式不改變，就束縛了它的科學發展。
看看過去，不必怪我們明清的老祖宗不爭氣，他們是有著社會條件的限制。“憶古傷懷易斷腸”，還是“思今圖強應加鞭”來的好。
動腦筋問題
讀者如有興趣，可以考慮底下幾個問題：
1．證明三角數1+2＋…＋n的最後壹位數不可能出現2，4，7，9。例如S1=1，S2=3，S3= 6，S4＝10，S5= 15，S6＝21，S7=28。這是波蘭中學數學比賽出過的壹個問題。
2．證明2，3，7，8不會在12＋22＋32＋…＋n2的最後壹位數出現。
3．是否以上的情形會出現在級數和13＋23＋…＋n3的情況。
4．有壹些三角數是平方數，如S8=62，S49=352，妳能證明有無窮多的三角數是平方數嗎？
5．是否能找到壹個公式來表示和1-2＋3-4＋…＋ （-1）n+1n