克萊姆法則，又譯克拉默法則（Cramer's Rule）是線性代數中壹個關於求解線性方程組的定理。
1、當方程組的系數行列式不等於零時，則方程組有解，且具有唯壹的解。
2、如果方程組無解或者有兩個不同的解，那麽方程組的系數行列式必定等於零。
3、克萊姆法則不僅僅適用於實數域，它在任何域上面都可以成立。
克拉默法則（Kramer's rule）是壹種直接用行列式解線性方程組的方法。把線性方程組記為矩陣乘法的形式。
Ax=b(1)(1)Ax=b
其中?AA?為系數矩陣。當?AA?為?N×NN×N?的方陣且行列式?|A|≠0|A|≠0?時（即滿秩矩陣），方程有唯壹解（見 “線性方程組解的結構”）。該解可以用克拉默法則直接寫出：
xi=|Ai||A|(i=1,…,N)(2)(2)xi=|Ai||A|(i=1,…,N)
其中?AiAi?是把?AA?的第?ii?列替換為?bb?而來。
例如：解方程組
令式 1?中?A=(21?13)A=(21?13)，b=(45)b=(45)，求解方程組。
解：|A|=7|A|=7，|A1|=∣∣∣4153∣∣∣=7|A1|=|4153|=7，|A2|=∣∣∣24?15∣∣∣=14|A2|=|24?15|=14。代入式 2?得?x=(12)x=(12)。
在數值計算時，克拉默法則解方程組效率較低，直接用高斯消元法求逆矩陣高斯消元法求逆矩陣會更快。
推論1）n元齊次線性方程組有惟壹零解的充要條件是系數行列式不等於零，系數矩陣可逆（矩陣可逆=矩陣非奇異=矩陣對應的行列式不為0=滿秩=行列向量線性無關）；
2）n元齊次線性方程組有非零解的充要條件是系數行列式等於零。
xml法則總結
1.克萊姆法則的重要理論價值：
1）研究了方程組的系數與方程組解的存在性與惟壹性關系；
2）與其在計算方面的做用相比，克萊姆法則更具備重大的理論價值。（通常沒有計算價值，計算量較大，復雜度過高）
2.應用克萊姆法則判斷具備N個方程、N個未知數的線性方程組的解：
1）當方程組的系數行列式不等於零時，則方程組有解，且具備惟壹的解；
2）若是方程組無解或者有兩個不壹樣的解，那麽方程組的系數行列式壹定等於零；
3）克萊姆法則不單單適用於實數域，它在任何域上面均可以成立。
3.克萊姆法則的局限性：
1）當方程組的方程個數與未知數的個數不壹致時，或者當方程組系數的行列式等於零時，克萊姆法則失效；
2）運算量較大，求解壹個N階線性方程組要計算N+1個N階行列式。
不確定的情況
1.當方程組沒有解時，稱為方程組不兼容或不壹致，當存在多個解決方案時，稱為不確定性。對於線性方程，不確定的系統將具有無窮多的解（如果它在無限域上），因為解可以用壹個或多個可以取任意值的參數來表示。
2.克拉默規則適用於系數行列式非零的情況。在2×2的情況下，如果系數行列式為零，則如果分子決定因子為非零，則系統不兼容，如果分子決定因素為零，則系統不兼容。
3.對於3×3或更高的系統，當系數行列式等於零時，唯壹可以說的是，如果任何分子決定因素是非零的，那麽系統必須是不兼容的。然而，將所有決定因素置零都不意味著系統是不確定的。 3×3系統x + y + z = 1，x + y + z = 2，x + y + z = 3的壹個簡單的例子，其中所有決定因素消失（等於零）但系統仍然不兼容。
克拉默法則適用於變量和方程數目相等的線性方程組。克萊姆法則是線性代數中壹個關於求解線性方程組的定理，研究了方程組的系數與方程組解的存在性與唯壹性關系；與其在計算方面的作用相比，克萊姆法則更具有重大的理論價值。
克拉默法則怎麽用
克拉默法則解方程組過程：先求系數行列式，再求各未知數對應的行列式，相除得到方程的解。
應用克拉默法則判斷具有N個方程、N個未知數的線性方程組的解:
（1）當方程組的系數行列式不等於零時，則方程組有解，且具有唯壹的解；
（2）如果方程組無解或者有兩個不同的解，那麽方程組的系數行列式必定等於零
（3）克萊姆法則不僅僅適用於實數域，它在任何域上面都可以成立。
克萊姆法則的局限性：
（1）：當方程組的方程個數與未知數的個數不壹致時，或者當方程組系數的行列式等於零時，克萊姆法則失效。
（2）：運算量較大，求解壹個N階線性方程組要計算N+1個N階行列式。
克拉默法則產生時間：這項法則是瑞士數學家克萊姆（1704-1752）於1750年，在他的《線性代數分析導言》中發表的。其實萊布尼茲〔1693〕，以及馬克勞林〔1748〕亦知道這個法則，但他們的記法不如克萊姆。對於多於兩個或三個方程的系統，克萊姆的規則在計算上非常低效；與具有多項式時間復雜度的消除方法相比，其漸近的復雜度為O（n·n！）。即使對於2×2系統，克拉默的規則在數值上也是不穩定的。
作者介紹：克萊姆（Cramer,Gabriel，瑞士數學家 1704-1752）克萊姆1704年7月31日生於日內瓦，早年在日內瓦讀書，1724 年起在日內瓦加爾文學院任教，1734年成為幾何學教授，1750年任哲學教授。他自 1727年進行為期兩年的旅行訪學。在巴塞爾與約翰．伯努利、歐拉等人學習交流，結為摯友。後又到英國、荷蘭、法國等地拜見許多數學名家，回國後在與他們的長期通信 中，加強了數學家之間的聯系，為數學寶庫也留下大量有價值的文獻。他壹生未婚，專心治學，平易近人且德高望重，先後當選為倫敦皇家學會、柏林研究院和法國、意大利等學會的成員。
作者成就：主要著作是《代數曲線的分析引論》（1750），首先定義了正則、非正則、超越曲線和無理曲線等概念，第壹次正式引入坐標系的縱軸（Y軸），然後討論曲線變換，並依據曲線方程的階數將曲線進行分類。為了確定經過5 個點的壹般二次曲線的系數，應用了著名的“克萊姆法則”，即由線性方程組的系數確定方程組解的表達式。該法則於1729年由英國數學家馬克勞林得到，1748年發表，但克萊姆的優越符號使之流傳。