最速下降線的伯努利證明最速下降線問題是17世紀的壹個著名問題，難倒了很多數學家。1630年，大科學家伽利略提出“當壹個質點在重力作用下，從壹個給定點運動到另壹個不在其垂直下方的點時，滑下的時間最短的曲線是什麽？”“如果分層無限增加，每壹層的厚度無限變薄，那麽粒子的運動就接近於空間A和b中兩點的間隙點運動的真實情況，此時折線的數量無限增加，其形狀接近於我們所要求的曲線——最陡下降線。折線的每壹段都趨向於曲線的切線，於是得到了最速下降線的壹個重要性質，即切線與垂線在任意壹點所成的角的余弦與在該點下落的高度的平方根之比是常數。而具有這種性質的曲線就是擺線。”
巴塞爾級數的歐拉證明(1+1/4+1/9+1/16+...)是在1650提出的。壹百多年來，沒有人能給出壹個準確的數值，即使是牛頓。然而，在1734中，27歲的數學家歐拉用非常基礎的知識解決了這個問題。
萊布尼茨級數的證明著名的萊布尼茨級數形式奇妙，含有圓周率。表面上看，這個級數的證明應該不簡單，但事實是，只要懂壹點微積分，還是挺容易的。
康托爾證明了自然數和有理數“壹樣多”。在康托爾之前，人們認為有理數遠遠多於自然數，直到康托爾指出兩者的勢是相同的，並提出了著名的對角法則。
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