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關鍵詞
* 廣播模型（壹個信息源），擴散模型（口口相傳），SIR模型（考慮痊愈），易感者、感染者、痊愈者，巴斯模型，前提假設，概率分解，基本再生數R0， 疫苗接種閾值，群體免疫力，依賴於環境的臨界點，直接臨界點
框架
* 我們運用廣播模型、擴散模型和傳染模型分析信息、技術、行為、信念和傳染病在人群中的傳播。這些模型在通信科學、市場營銷學和流行病學的研究中發揮著核心作用。
* 模型將思想和傳染病傳播的微觀過程與這些采用曲線的形狀聯系起來。
* 本章中介紹的所有模型都要假設存在壹個相關人群，用NPOP表示。相關人群包括那些可能患上傳染病、了解信息或采取行動的人。
* 在任何時候，總會有些人患上了某種傳染病、了解特定信息或采取了壹定行動。我們將這些人稱為感染者或知情者（用It表示），相關人群中除了感染者或知情者之外的其余成員則是易感者（用St表示）。這些易感者可能會感染傳染病、了解信息或采取行動。
* 相關人群的總人數等於感染者或知情者人數加上易感者人數的總和：NPOP=It+St。
壹、廣播模型
* 在給定時間段內，知情者人數等於前壹期的知情者人數加上易感者聽到信息的概率乘以易感者人數。由此得到的將是壹個r形采用曲線。
* It+1=It+Pbroad×St
* 其中，Pbroad表示廣播概率，It和St分別等於時間t上的感染者（知情者）和易感者的數字
* 初始狀態為I0=0，且S0=NPOP。
* 廣播模型刻畫了思想、謠言、信息或技術通過電視、廣播、互聯網等媒體進行的傳播。這個模型的目標是描述壹個信息源傳播信息的過程，可以是政府、企業或報紙。這個模型不適用於在人與人之間傳播的傳染病或思想。
* 在廣播模型中，相關人群中的每壹個人最終都會知悉信息。如果有適當的數據，就可以估計出相關人群的規模。
二、擴散模型
* 擴散模型
* 大多數傳染病，以及關於產品、思想和技術突破的信息，都是通過口口相傳而傳播開來的，擴散模型刻畫了這些過程。擴散模型假設，當壹個人采用了某種技術或患上了某種傳染病時，這個人有可能將之傳遞或傳染給與他接觸的人。
* 在這個模型中，與在傳播模型中壹樣，從長期來看，相關人群中的每個人都會掌握信息。不同的是，擴散模型的采用曲線是S形的。
* 在廣播模型中，根據數據估算相關人群規模是壹件相當簡單的事情。采用者的初始數量與相關人群規模密切相關。與此相反，利用擴散模型的數據估計相關群體的規模可能會非常困難。產品銷售量的增加，可能是由於壹個很小的相關人群內部的高擴散概率，也可能是由於壹個很大的相關人群中的低擴散概率。
* 前提假設
* 在傳染傳染病的情況下，個人的選擇不會在其中發揮任何作用。技術的傳播則與采用者的選擇有關，因此更有用的技術被采用的概率更高。我們並沒有在模型中明確將這種情況選擇考慮在內。
* 擴散模型假定隨機混合（random mixing）。隨機混合的含義是，相關群體中任何兩個人接觸的可能性都相同。如果將它應用於城市人口則是有問題的。在城市中，人們並不是隨機混合的。壹個假設要成為有用模型的壹部分，其實不壹定非得十分準確不可。因此，我們將繼續使用這個假設，同時保持開放的心態，在需要改變的時候隨時改變這個假設。
* 概率分解
* 這種事件的發生，因環境而異。我們可以將擴散概率（diffusion probability）定義為接觸概率（contact probability）和分享概率（sharing probability）的乘積。我們可以根據擴散概率來構建模型，但是在估計或應用模型時，必須獨立地跟蹤接觸概率和分享概率。
* 應用軟件擴散：要想改變第壹個概率是很困難的。為了增大第二個概率，開發人員可以為帶來了新註冊用戶的老用戶提供壹些激勵，雖然這樣做能夠增加擴散速度，但是並不會影響總銷量，至少根據這個模型來看不會有影響。如上所述，總銷量等於相關人群的規模，而與分享概率高低無關，提高銷售速度不會帶來長期的影響。
* 巴斯模型
* 大多數消費品和信息都是通過廣播和擴散傳播的。而巴斯模型則將這兩個過程組合在壹起了。巴斯模型中的差分方程等於廣播模型和擴散模型中的差分方程之和。在巴斯模型中，擴散概率越大，采用曲線的S形就越顯著。
三、傳染SIR模型
* SIR模型
* 在我們已經討論過的模型中，壹旦有人采用了壹項技術，則永遠不會放棄它。但這並不適用於所有通過擴散傳播的事物，例如我們患上了某種傳染病之後不久就會恢復健康，或者當我們采用了某種流行款式或參加了某項潮流運動之後，是可以放棄的。
* 我們將放棄所采用的某種事物的人稱為痊愈者。由此產生的模型，即SIR模型（易感者、感染者、痊愈者），在流行病學中占據了中心位置。
* 為了避免過於復雜的數學計算，我們假設治愈傳染病的人會重新進入易感人群，也就是說治愈傳染病並不會產生未來對傳染病的免疫力。
* 基本再生數R0
* 某種傳染病，如果R0大於1，那麽這種傳染病就可以傳遍整個人群，而R0小於1的傳染病則趨於消失。
* 必須接種疫苗的人的比例，即疫苗接種閾值（vaccination threshold），可以通過公式Vt≥（R0-1）/R0求出。我們可以從上述模型中推導出這個公式。對於麻疹和脊髓灰質炎等R0非常高的傳染病，政府將努力保證所有人都接種疫苗。
* 有些人擔心疫苗有副作用，選擇不參加疫苗接種計劃。如果這些人只占人口的壹小部分，那麽其他人接種疫苗也可以防止這些人感染這種傳染病，流行病學家將這種現象稱為群體免疫力。選擇不接種疫苗的人事實上是搭了其他接種疫苗的人的便車。
* 超級傳播者
* 如果將SIR模型嵌入到網絡中，就會觀察到度分布對傳染病傳播的重要性。
* 對於中心輻射型網絡，R0攜帶的信息量很有限，因為如果中心節點患上了傳染病，傳染病就會傳播開來。流行病學家們將位置在度很高的中心節點上的人稱為“超級傳播者”（superspreaders）。高度數節點不但能夠更快地傳播傳染病，而且會更快地患上傳染病。節點對傳染病（或思想）傳播的貢獻與節點的度的平方相關。
* 成功與臨界點
* 盡管SIR模型原本是用來分析傳染病傳播的，但是我們也可以將它應用於所有先通過擴散傳播，然後趨於消失的社會現象，例如書的銷售、歌曲的流行、舞步的風行，“熱詞”的傳播、食譜和健身方法的流傳等。
* 在這些情形下，我們也可以估計接觸概率、傳播概率和“痊愈”概率，以及基本再生數R0。這個模型意味著，這些概率只要發生了微小的變化，就可以使R0移動到高於零的水平，從而造成成功與失敗之間的天壤之別。
* 成功可能取決於非常微小的差異，壹件事情做得很好與搞砸了之間，只有極其細微的差異。
* 在SIR模型中，我們推導出了兩個關鍵閾值，即R0和疫苗接種閾值。這兩個閾值都是屬於敏感依賴於環境的臨界點，環境（情境）中的微小變化都會對結果產生很大的影響。這種臨界點不同於直接臨界點（direct tipping point）。在直接臨界點，特定時刻的微小行動會永久性地改變系統的路徑。
* 而在依賴於環境的臨界點上，參數的變化會改變系統的行為方式。在直接臨界點上，未來的結果軌跡急轉直下。
* 將傾覆與急劇上升（下降）混淆起來，導致臨界點這個術語被過度濫用了。新聞媒體和互聯論壇上所說那些臨界點，幾乎有很少符合正式定義的。
* 模型修正
* 在將廣播模型、擴散模型和傳染模型應用於社會現象時，我們可能會發現某些假設是成立的，而其他壹些假設則不能成立。在這些情況下，我們可能必須對基本模型進行修正，以允許每次接觸的采用概率會隨著接觸次數的增多而增大。這種修正，在擴大模型的應用範圍時通常是必不可少的。