泰勒公式的原理！

泰勒中值定理：若函數f(x)在開區間（a，b）有直到n+1階的導數，則當函數在此區間內時，可以展開為壹個關於（x-x.)多項式和壹個余項的和： f(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+f''(x.)/2!?6?1(x-x.)^2,+f'''(x.)/3!?6?1(x-x.)^3+……+f(n)(x.)/n!?6?1(x-x.)^n+Rn 其中Rn=f(n+1)(ξ)/(n+1)!?6?1(x-x.)^(n+1),這裏ξ在x和x.之間，該余項稱為拉格朗日型的余項。（註：f(n)(x.)是f(x.)的n階導數，不是f(n)與x.的相乘。）證明：我們知道f(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+α（根據拉格朗日中值定理導出的有限增量定理有limΔx→0 f(x.+Δx)-f(x.)=f'(x.)Δx），其中誤差α是在limΔx→0 即limx→x.的前提下才趨向於0，所以在近似計算中往往不夠精確；於是我們需要壹個能夠足夠精確的且能估計出誤差的多項式： P(x)=A0+A1(x-x.)+A2(x-x.)^2+……+An(x-x.)^n 來近似地表示函數f(x)且要寫出其誤差f(x)-P(x)的具體表達式。設函數P(x)滿足P(x.)=f(x.),P'(x.)=f'(x.),P''(x.)=f''(x.),……,P(n)(x.)=f(n)(x.),於是可以依次求出A0、A1、A2、……、An。顯然，P(x.)=A0,所以A0=f(x.)；P'(x.)=A1,A1=f'(x.)；P''(x.)=2!A2,A2=f''(x.)/2!……P(n)(x.)=n!An,An=f(n)(x.)/n!。至此，多項的各項系數都已求出，得：P(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+f''(x.)/2!?6?1(x-x.)^2+……+f(n)(x.)/n!?6?1(x-x.)^n. 接下來就要求誤差的具體表達式了。設Rn(x)=f(x)-P(x),於是有Rn(x.)=f(x.)-P(x.)=0。所以可以得出Rn(x.)=Rn'(x.)=Rn''(x.)=……=Rn(n)(x.)=0。根據柯西中值定理可得Rn(x)/(x-x.)^(n+1)=Rn(x)-Rn(x.)/(x-x.)^(n+1)-0=Rn'(ξ1)/(n+1)(ξ1-x.)^n(註：(x.-x.)^(n+1)=0),這裏ξ1在x和x.之間；繼續使用柯西中值定理得Rn'(ξ1)-Rn'(x.)/(n+1)(ξ1-x.)^n-0=Rn''(ξ2)/n(n+1)(ξ2-x.)^(n-1)這裏ξ2在ξ1與x.之間；連續使用n+1次後得出Rn(x)/(x-x.)^(n+1)=Rn(n+1)(ξ)/(n+1)!，這裏ξ在x.和x之間。但Rn(n+1)(x)=f(n+1)(x)-P(n+1)(x),由於P(n)(x)=n!An,n!An是壹個常數，故P(n+1)(x)=0，於是得Rn(n+1)(x)=f(n+1)(x)。綜上可得，余項Rn(x)=f(n+1)(ξ)/(n+1)!?6?1(x-x.)^(n+1)。壹般來說展開函數時都是為了計算的需要，故x往往要取壹個定值，此時也可把Rn(x)寫為Rn。麥克勞林展開式：若函數f(x)在開區間（a，b）有直到n+1階的導數，則當函數在此區間內時，可以展開為壹個關於x多項式和壹個余項的和： f(x)=f(0)+f'(0)x+f''(0)/2!?6?1x^2,+f'''(0)/3!?6?1x^3+……+f(n)(0)/n!?6?1x^n+Rn 其中Rn=f(n+1)(θx)/(n+1)!?6?1x^(n+1),這裏0<θ<1。證明：如果我們要用壹個多項式P(x)=A0+A1x+A2x^2+……+Anx^n來近似表示函數f(x)且要獲得其誤差的具體表達式，就可以把泰勒公式改寫為比較簡單的形式即當x.=0時的特殊形式： f(x)=f(0)+f'(0)x+f''(0)/2!?6?1x^2,+f'''(0)/3!?6?1x^3+……+f(n)(0)/n!?6?1x^n+f(n+1)(ξ)/(n+1)!?6?1x^(n+1) 由於ξ在0到x之間，故可寫作θx，0<θ<1。麥克勞林展開式的應用： 1、展開三角函數y=sinx和y=cosx。解：根據導數表得：f(x)=sinx , f'(x)=cosx , f''(x)=-sinx , f'''(x)=-cosx , f(4)(x)=sinx…… 於是得出了周期規律。分別算出f(0)=0，f'(0)=1, f''(x)=0, f'''(0)=-1, f(4)=0…… 最後可得：sinx=x-x^3/3!+x^5/5!-x^7/7!+x^9/9!-……（這裏就寫成無窮級數的形式了。）類似地，可以展開y=cosx。 2、計算近似值e=lim x→∞ (1+1/x)^x。